Sucesión
La
sucesión es el conjunto de cosas
generalmente son números uno detrás de otro, en algún orden determinado.
·
Convergentes
·
Divergentes
·
Oscilantes
·
Alternadas
·
Monótonas
·
Constantes
·
Acotadas inferiormente
·
Acotadas
superiormente
·
Acotadas
Sucesiones Convergentes.-
Son
aquellas que tienen un límite finito ej:
{a, b, c, d,....z}
{5, 6, 7, 8, 9, 10}
{5, 6, 7, 8, 9, 10}
Sucesiones
Divergentes.-
Las sucesiones divergentes son las que no tiene
un límite finito ej:
{1, 2, 3, 4,....∞}
Sucesiones
Oscilantes.-
Las sucesiones oscilantes no son ni
convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o
viceversa. Ej:
{1, 0, 3, 0, 5, 0,7,....}
Sucesiones
Alternadas.-
Las sucesiones alternadas son aquellas que
alternan los signos de sus términos. Pueden ser:
·
Sucesiones alternadas convergentes
·
Sucesiones alternadas divergentes
Sucesiones Alternadas Convergentes:
Son tanto los pares como los impares con el
limite “0”. Ej:
{1, -1, 0.5, -0.5, 0.25, -0.25,.....}
Sucesiones
Alternadas Divergentes:
Las sucesiones alternadas divergentes son tanto
así los pares como los impares que tienen un limite +∞
{2, 4, 3, 6, 5, 10, 9, 18,....+
∞}
Sucesiones
Monótonas.-
Sucesiones
estrictamente crecientes:
Se le dice a una sucesión que es estrictamente
creciente si cada termino es mayor al termino anterior. Ej:
An+1 < An
2, 5,
8, 11, 14, 17,...
2 < 5; 8 <
5; 11 < 8;...
Sucesiones Crecientes:
La sucesión es creciente si los términos de
dicha sucesión es mayor o igual al término anterior.
An+1 ≤ An
2, 2,
4, 4, 8, 8,...
2 ≤ 2; 4 ≤ 2; 4 ≤ 4;...
Sucesiones
Estrictamente Decrecientes:
Se dice que una sucesión es estrictamente
decreciente si cada uno de los términos de esta sucesión es menor que el
anterior.
An+1 > An
100,
90, 80, 50,...
100 > 90; 90 > 80; 80 > 50;...
Sucesiones Decrecientes:
Se dice que es una sucesión decreciente a la
sucesión que cada uno de los términos es igual o menor al numero anterior.
An+1 ≥ An
50, 50, 40, 40, 30, 30,...
50 ≥ 50; 50 ≥ 40; 40 ≥ 40; 40 ≥ 30; 30 ≥
30;...
Sucesiones Constantes:
Se dice que una sucesión es
constante cuando todos sus términos son el mismo. Ej:
5, 5, 5, 5,...
Sucesiones Acotadas.-
Sucesiones Acotadas Inferiormente:
Una sucesión esta acotada
inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto numero
K que le llamaremos cota inferior de la sucesión. Ej:
An ≥ k
K=6
6, 7, 8, 9,
10,...
6 ≥ K; 7 ≥ K; 8 ≥ K; 8 ≥ K; 9 ≥ K; 10≥ K;...
Sucesiones Acotadas Superiormente:
una sucesión esta acotada
superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto numero
K que llamaremos cota superior de la sucesión. Ej:
an ≤ k
K= 8
2, 3, 4,...
K ≥ 2; K ≥ 3; K ≥ 4; K ≥...
Sucesiones Acotadas:
A una sucesión se le
dice acotada si está, acotada superior o inferiormente. Es decir si hay un
número K
menor o igual qué todos los términos de la sucesión y otro K mayor o igual que
todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión
están comprendidos entre K y K.
k ≤ an ≤ K'
Series
En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión
infinita.
Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·
Sucesión:
{1,2,3,4}
Serie:
1+2+3+4 = 10
Las
series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos
todos":
Esto significa "suma de 1
a 4" = 10
|
|
Esto significa "suma los
cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24 |
El
estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante
un pasaje
al límite
identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Convergencia y divergencia de series
Se
dice que la serieconverge o es una serie convergente cuando la sucesión de
sumas parciales {Sn} tiene límite infinito
Se
dice que la seriedivergente o es una serie divergente cuando la sucesión
de sumas parciales {Sn } no converge (ya sea porque el limite da +∞,
da -∞ o no existe)
Sea s
є R, si la sucesión { Sn} converge a s se suele escribir
En
otras palabras, la expresión anterior quiere decir:
En esto
último debe quedar claro que s no se obtiene simplemente por adición, s es el
límite de una sucesión de sumas
Tipos de series
Serie geométrica
Una serie
geométrica es aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada
término es igual al anterior multiplicado por una constante). La fórmula de una
serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:
Serie armónica
La serie
armónica es la serie: .
La serie armónica es divergente.
Serie alternada
Una serie
alternada es aquella cuyos términos son alternativamente positivos y negativos.
Ejemplo:
Serie de
potencias
•Una serie
de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:
En el cual el centro es a, y los coeficientes Cn son constantes.
Serie
telescópica
Una serie
telescópica es la suma , donde . Se representa de la siguiente
manera:
NOTACION SUMA
La letra griega sigma mayúscula ( ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.
Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de
La letra debajo del operador se llama índice de la suma; en la expresión
Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:
- Notación suma abierta.- Esta notación va de una
representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen,
por ejemplo:
- Notación suma
pertinente.- Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la
representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su
representación matemática resumida, por ejemplo: .
Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11
Encontrar:
Solución:
Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1
Encontrar:
Solución:
Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12
Encontrar:
Solución:
Ahora bien, cuando se trabajan estas expresiones en forma algebráica se necesita identificar variables y constantes, así sí X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:
1.- De lo anterior es evidente que la suma de una expresión que es la suma de dos ó más términos es igual a la suma de las sumas de los términos por separado.
Por ejemplo:
2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es
3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:
Progresiones
aritmeticas
Una progresión aritmética es una
sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al
anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8,
3, -2, -7, -12….
3
- 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
El término general de una progresión aritmética es
aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término
anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da
cualquiera de sus términos,
conocidos alguno de ellos y la diferencia de
la progresión. La fórmula del
término general de una progresión aritmética es:
Hay muchas sucesiones con sus reglas de correspondencias o formula del
n-esimo termino.
CALCULO DEL TERMINO N-ESIMO.
LA NOTACION DE UNA PROGRESION ARITMETICA P.A. ES:
T1.t2.t3.t4….tn
La diferencia aritmetica entre dos términos cualesquiera sucesivo es:
D = t2-t1
o D =t4-t3
D = tn – tn-1
Cualquier término podemos expresar asi:
T1= t1
T2= t1+d
T3=t2+d= (t1+d) +d=t1+2d
T4=t3+d= (t1+2d)
+d=t1+3d
………………………………………
………………………………………
La formula es:
Tn = t1+ (n-1) d
Muchos textos utilizan esta notación de manera diferente pero para mayor
comprensión lo haremos de la manera explicada aquí arriba para poder entender
lo que significa tendremos que cada palabra significa:
Tn: es el n-esimo numero
T1: es el primer termino
n: es el numero de términos
d: es la razón o diferencia aritmetica
TIPOS DE PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresión aritmética puede ser:
·
Creciente
·
Decreciente
La progresión es creciente si la diferencia aritmetica es positiva, es
decir, el termino sucesor va aumentando.
La progresión es decreciente si la diferencia aritmetica es negativa es
decir, el termino sucesor va disminuyendo.
Ejercicios:
CALCULA EL TERMINO QUE SE INDICA
1. - 2.5.8…..t33
tn=? tn= t1+
(n-1) d
t1= 2 tn= 2+
(33-1)3
N= 33 tn= 2+ 96
D= 3 tn= 98
2. - 22.18.14…..t15
tn=? tn= t1+
(n-1) d
t1= 22 tn= 22+
(15-1)-4
N= 15 tn= 22- 56
D= -4 tn= -34
CALCULA EL DATO QUE FALTA SI:
1.- tn=32;
t1=?; n=10; d=3
tn= t1+(n-1)d
32=t1+(10-1)3
32=t1+27
32-27=t1
5=t1
2.- tn=9; t1=-2;
n=34; d=?
tn= t1+(n-1)d
9= -2+(34-1)d
9+2=
(34-1)d
11=33d
11/33 = d 1/3
PROGRESION GEOMETRICA
Una progresión geométrica está
constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se
obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se
suele reservar el término progresión cuando
la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad
infinita de términos, si bien, esta distinción no es
estricta.
Así, es una progresión geométrica con
razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la
fórmula:
Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:
Así quedaría si queremos saber el 6º
término de nuestra progresión
Ejemplos de progresiones geométricas
§ La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión
geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
§ La razón no necesariamente tiene que
ser un número entero. Así, 12, 3,
0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
§ La razón tampoco tiene por qué ser
positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es
un ejemplo de progresión
alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
§ Cuando la razón es igual a 1 se obtiene
una progresión constante: 7, 7, 7,
7
§ Un caso especial es cuando la razón es
igual a cero, por ejemplo: 4, 0,
0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como
progresión y piden explícitamente que en la definición.
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los primeros n términos de una progresión
geométrica
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una
progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula
para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de
la igualdad por la razón de la progresión r.
Si se tiene en cuenta que al
multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el
término siguiente de esa progresión,
Si se procede a restar de esta
igualdad la primera:
Sn r
=a2+a3+ ... + an-1 + an + an r
Sn =
a1 + a2 + ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r
- Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja Sn,
De esta manera se obtiene la suma
de los n términos de una
progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la
misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término
general de la progresión an como
Así, al sustituirlo en la fórmula
anterior se tiene lo siguiente:
con lo que se obtiene la
siguiente igualdad:
Con esta fórmula se puede obtener
la suma de n términos
consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a
sumar y la razón de la progresión.
Si queremos calcular el resultado
de una suma de n términos
consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:
Suma de términos infinitos de una progresión
geométrica
Si el valor absoluto de la razón
es menor que la unidad, la
suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica
converge hacia un valor finito. En efecto, si , tiende hacia 0, de modo que:
En definitiva, la suma de los
infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad
se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
Interpolación de términos en una
progresión geométrica
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre
dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números
dados.
Sean
los extremos a y b, y el
número de medios a interpolar m.
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
3, 6, 12, 24, 48.