domingo, 15 de abril de 2012


Sucesión
La sucesión es el conjunto de cosas  generalmente son números uno detrás de otro, en algún orden determinado.

Hay varios tipos de sucesiones como:
·         Convergentes
·         Divergentes
·         Oscilantes
·         Alternadas
·         Monótonas
·         Constantes
·         Acotadas inferiormente
·         Acotadas superiormente
·         Acotadas

Sucesiones Convergentes.-
Son aquellas que tienen un límite finito ej:

{a, b, c, d,....z}


{5, 6, 7, 8, 9, 10}

Sucesiones Divergentes.-
Las sucesiones divergentes son las que no tiene un límite finito ej:

{1, 2, 3, 4,....}



Sucesiones Oscilantes.-
Las sucesiones oscilantes no son ni convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa. Ej:

{1, 0, 3, 0, 5, 0,7,....}

Sucesiones Alternadas.-
Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:
·         Sucesiones alternadas convergentes
·         Sucesiones alternadas divergentes
Sucesiones Alternadas Convergentes:
Son tanto los pares como los impares con el limite “0”. Ej:
{1, -1, 0.5, -0.5, 0.25, -0.25,.....}

Sucesiones Alternadas Divergentes:
Las sucesiones alternadas divergentes son tanto así los pares como los impares que tienen un limite +
{2, 4, 3, 6, 5, 10, 9, 18,....+}

Sucesiones Monótonas.-

Sucesiones estrictamente crecientes:
Se le dice a una sucesión que es estrictamente creciente si cada termino es mayor al termino anterior. Ej:
An+1 < An
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
2 < 5; 8 < 5; 11 < 8;...
Sucesiones Crecientes:
La sucesión es creciente si los términos de dicha sucesión es mayor o igual al término anterior.
An+1 ≤ An
2, 2, 4, 4, 8, 8,...
2 2; 4 2; 4 4;...
Sucesiones Estrictamente Decrecientes:
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada uno de los términos de esta sucesión es menor que el anterior.
An+1 > An
100, 90, 80, 50,...
100 > 90; 90 > 80; 80 > 50;...
Sucesiones Decrecientes:
Se dice que es una sucesión decreciente a la sucesión que cada uno de los términos es igual o menor al numero anterior.
           An+1 ≥ An
                50, 50, 40, 40, 30, 30,...
            50 ≥ 50; 50 ≥ 40; 40 ≥ 40; 40 ≥ 30; 30 ≥ 30;...
Sucesiones Constantes:
Se dice que una sucesión es constante cuando todos sus términos son el mismo. Ej:
5, 5, 5, 5,...
Sucesiones Acotadas.-
Sucesiones Acotadas Inferiormente:
Una sucesión esta acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto numero K que le llamaremos cota inferior de la sucesión. Ej:
             An ≥ k
             K=6
             6, 7, 8, 9, 10,... 
             6 ≥ K; 7 ≥ K; 8 ≥ K; 8 ≥ K; 9 ≥ K; 10≥ K;...
Sucesiones Acotadas Superiormente:
una sucesión esta acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto numero K que llamaremos cota superior de la sucesión. Ej:
             an ≤ k
             K= 8
             2, 3, 4,...
             K ≥ 2; K ≥ 3; K ≥ 4; K ≥...
Sucesiones Acotadas:
A una sucesión se le dice acotada si está, acotada superior o inferiormente. Es decir si hay un número K menor o igual qué todos los términos de la sucesión y otro K mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre K y K.
                                          k ≤ an ≤ K'


Series

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · 
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
Descripción: Description: suma de 1 a 4
Esto significa "suma de 1 a 4" = 10


Descripción: Description: suma 2n+1
Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Convergencia y divergencia de series
Se dice que la serieconverge o es una serie convergente cuando la sucesión de sumas parciales  {Sn}  tiene límite infinito
Se dice que la seriedivergente o es una serie divergente cuando la sucesión de sumas parciales  {Sn }  no converge (ya sea porque el limite da +∞, da -∞ o no existe)
Sea s є R, si la sucesión { Sn} converge a s se suele escribir
En otras palabras, la expresión anterior quiere decir:
En esto último debe quedar claro que s no se obtiene simplemente por adición, s es el límite de una sucesión de sumas



Tipos de series

Serie geométrica

Una serie geométrica es aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante). La fórmula de una serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:
Descripción: Description: http://www.ecured.cu/images/a/ac/Serie6.jpg

Serie armónica

La serie armónica es la serie:
Descripción: Description: http://www.ecured.cu/images/a/a1/Serie7.jpg.
 La serie armónica es divergente.

Serie alternada

Una serie alternada es aquella cuyos términos son alternativamente positivos y negativos. Ejemplo:
Descripción: Description: http://www.ecured.cu/images/a/a2/Serie8.jpg

Serie de potencias

•Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:Descripción: Description: http://www.ecured.cu/images/7/7a/Serie9.jpg
Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:Descripción: Description: http://www.ecured.cu/images/3/35/Serie10.jpg
En el cual el centro es a, y los coeficientes Cn son constantes. 

Serie telescópica

Una serie telescópica es la suma Descripción: Description: http://www.ecured.cu/images/4/48/Serie11.jpg , donde Descripción: Description: http://www.ecured.cu/images/1/1d/Serie12.jpg. Se representa de la siguiente manera:
Descripción: Description: http://www.ecured.cu/images/c/cc/Serie13.jpg








NOTACION SUMA

En estadística se requiere la suma de grandes masas de datos y es pertinente tener una notación simplificada para indicar la suma de estos datos. Así, si una variable se puede denotar por X, entonces las observaciones sucesivas de esta variable se escriben
Descripción: Image238
En general, la i-ésima observación se escribe X ; i=1, ..., n.

La letra griega sigma mayúscula ( ) se emplea para indicar la suma de estas n observaciones.
Descripción: Image239
La notación Descripción: Image240se lee:
Suma de X sub-i (ó sigma sub-i) donde i asume todos los valores de 1 hasta n, ó simplemente suma de X sub-i donde i va de 1 a n.

La letra debajo del operador  se llama índice de la suma; en la expresión
Descripción: Image241
note que el índice de la suma es i.

Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones:
  • Notación suma abierta.- Esta notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por ejemplo: Descripción: Dibujo1
  • Notación suma pertinente.- Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida, por ejemplo: Descripción: Dibujo2.

Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11
Encontrar: Descripción: Image242
Solución:
Descripción: Image243


Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1

Encontrar: Descripción: Image244
Solución:
Descripción: Image245

Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12
Encontrar: Descripción: Image246
Solución:
Descripción: Image247

Ahora bien, cuando se trabajan estas expresiones en forma algebráica se necesita  identificar variables y constantes, así sí X es una variable, a y b son dos constantes, probar que:
Descripción: Image248

1.- De lo anterior es evidente que la suma de una expresión que es la suma de dos ó más términos es igual a la suma de las sumas de los términos por separado.
Por ejemplo:
Descripción: Image249

2.- La suma de una constante multiplicada por una variable es lo misma que la constante multiplicada por la suma de la variable, esto es
Descripción: Image250

3.- La suma de una constante, es igual a n veces la constante, esto es:
Descripción: Image251


Progresiones aritmeticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
8, 3, -2, -7, -12….
3 - 8 = -5
-2 - 3 = -5
-7 - (-2) = -5
-12 - (-7) = -5
d= -5.
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:
Descripción: a_n = a_1 + {(n-1)}{d} \,

Hay muchas sucesiones con sus reglas de correspondencias o formula del n-esimo termino.
CALCULO DEL TERMINO N-ESIMO.
LA NOTACION DE UNA PROGRESION ARITMETICA P.A. ES:
T1.t2.t3.t4….tn
La diferencia aritmetica entre dos términos cualesquiera sucesivo es:
D = t2-t1   o   D =t4-t3
D = tn – tn-1
Cualquier término podemos expresar asi:
T1= t1
T2= t1+d
T3=t2+d= (t1+d) +d=t1+2d
T4=t3+d= (t1+2d) +d=t1+3d
………………………………………
………………………………………
La formula es:
Tn = t1+ (n-1) d
Muchos textos utilizan esta notación de manera diferente pero para mayor comprensión lo haremos de la manera explicada aquí arriba para poder entender lo que significa tendremos que cada palabra significa:
Tn: es el n-esimo numero
T1: es el primer termino
n: es el numero de términos
d: es la razón o diferencia aritmetica


TIPOS DE PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresión aritmética puede ser:
·         Creciente
·         Decreciente
La progresión es creciente si la diferencia aritmetica es positiva, es decir, el termino sucesor va aumentando.
La progresión es decreciente si la diferencia aritmetica es negativa es decir, el termino sucesor va disminuyendo.

Ejercicios:
CALCULA EL TERMINO QUE SE INDICA
1. - 2.5.8…..t33
       tn=?                                      tn= t1+ (n-1) d
     t1= 2                                     tn= 2+ (33-1)3
     N= 33                                    tn= 2+ 96
     D= 3                                      tn= 98
2. - 22.18.14…..t15
       tn=?                                       tn= t1+ (n-1) d
     t1= 22                                    tn= 22+ (15-1)-4
     N= 15                                    tn= 22- 56
     D= -4                                     tn= -34
CALCULA EL DATO QUE FALTA SI:
1.- tn=32;  t1=?;  n=10;  d=3
                   tn= t1+(n-1)d
                  32=t1+(10-1)3
                  32=t1+27
                  32-27=t1
                   5=t1
2.- tn=9; t1=-2;  n=34;  d=?
                    tn= t1+(n-1)d
                   9= -2+(34-1)d
                   9+2= (34-1)d
                  11=33d
                  11/33 = d            1/3
PROGRESION GEOMETRICA
Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, Descripción: 5, 15, 45, 135, 405,...\, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:
Descripción: a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Siendo Descripción: a_n\, el término en cuestión, Descripción: a_1\, el primer término y Descripción: r\, la razón:
Descripción: a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión
Descripción: a_6 = {5}({3^{(6-1)}})\,
Descripción: a_6 = {5}({3^5})\,
Descripción: a_6 = {5}(243)\,
Descripción: a_6= 1215\,
Ejemplos de progresiones geométricas
§  La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
§  La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
§  La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
§  Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
§  Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que Descripción: r \ne 0 en la definición.

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
Descripción:  S_n r = (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n) r   \Rightarrow   S_n r = a_1 r + a_2 r + ... + a_{n-1} r + a_n r
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,
Descripción:  S_n r = a_2 + a_3 + ... + a_n + a_n r
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja Sn,
Descripción:  S_n = \cfrac { a_n r - a_1 } { r - 1 }
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como
Descripción: a_n = {a_1}{r^{(n-1)}}\,
Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:
Descripción:  S_n = \cfrac { a_1 r^{n-1} r - a_1 } { r - 1 } = \cfrac { a_1 r^n - a_1 } { r - 1 }  = \cfrac { a_1 ( r^n - 1 ) } { r - 1 }
con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
Descripción:  S_n = a_1 \cfrac { 1- r^n} { 1 - r}
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:
Descripción: \sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}.

Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidadDescripción: |r|<1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si Descripción: |r| < 1 , Descripción:  r^\infty  tiende hacia 0, de modo que:
Descripción: S_\infty  = a_1 \cfrac{r^\infty  - 1}{r - 1}=a_1 \cfrac{0 - 1}{r - 1}=\cfrac{a_1}{1 - r}
En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
Descripción: S_\infty = \cfrac{a_1}{1 - r}

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Descripción: Interpolar
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
Descripción: Interpoloar
3,      6, 12, 24,      48.